ویژه کارشناسی ارشد مهندسی صنایع، بهینه سازی سیستم ها، و مدیریت سیستم و بهره وری

 

1. روش Barron & Shmidt را که برای تحلیل حساسیت بردارهای وزن ایجاد شده توسط روش رائو در توابع ارزشی چند هدفه است را توضیح دهید. (راهنمایی: در نوشتن مدلها مقادیر پارامترها را به دلخواه تعریف نمایید و با استفاده از داده های فرضی نحوه ساخت مدلهای خطی و غیرخطی مربوطه را بیان نمایید).

 

پاسخ:

روش Barron & Shmidt یک روش برای تحلیل حساسیت بردارهای وزن است که در توابع ارزشی چند هدفه استفاده می‌شود. این روش بر اساس روش رائو برای تخمین بردار وزن‌ها در مدل‌های خطی و غیرخطی است.

 

برای شروع، یک مدل خطی را در نظر می‌گیریم. فرض کنید داده‌ها به صورت زیر باشند:

 

Y = Xβ + ε

 

که در اینجا Y بردار پاسخ، X ماتریس طراحی، β بردار وزن‌ها و ε بردار خطا است. همچنین فرض می‌کنیم که β به صورت تصادفی با توزیع نرمال با مقدار متوسط μ و کوارانس C توزیع شده است.

 

حال با استفاده از روش رائو، برای تخمین β از طریق حل بهینه سازی زیر استفاده می‌کنیم:

 

β̂ = argmin (Y - Xβ)'C^(-1)(Y - Xβ)

 

با حل این بهینه سازی، بتای تخمین داده شده به دست می‌آید. سپس با استفاده از فرآیند Barron & Shmidt، حساسیت β̂ نسبت به تغییرات در C را محاسبه می‌کنیم.

 

برای حالت غیرخطی، فرض کنید داده ها به صورت زیر باشند:

 

Y = g(X, β) + ε

 

که در اینجا g() چگالان تابع پاسخ و β بردار وزن هستند. همچنین فرض کنید که g() قابل تخمین است.

 

برای تخمین β در این حالت، ابتدا گام های زیر را دنبال می کنیم:

 

1. گام نخست: گام نخست شامل تقسيم يك نقطه پيچيده (X, Y) به قسمت های كوچكتر و كافی (X', Y') شامل n نقطه پيچيده (X_i, Y_i) است.

2. گام دوم: در گام دوم، يك الگوريتم جستجوی عصبی (NN) يك نرون كلاسيك جديد NN(X', Y') را به نوبه خود قائل می شود.

3. گام سوم: الگوريتم NN(X', Y') يك نرون كلاسيك

 

2. کاربرد تست z_jƟ_j را در انتخاب متغیر وارد شونده در روش سیمپلکس با یک مثال عددی دلخواه بیان نمایید.

 

پاسخ:

تست z_jƟ_j در روش سیمپلکس برای انتخاب متغیر وارد شونده در هر مرحله از روش استفاده می‌شود. این تست به ما نشان می‌دهد که اگر مقدار z_jƟ_j مثبت باشد، افزایش مقدار متغیر وارد شونده (ویژگی داشته باشد) سود را افزایش خواهد داد. به عبارت دیگر، اگر z_jƟ_j مثبت باشد، افزایش مقدار این متغیر به جواب بهینه نزدیک‌تر می‌شود.

 

برای توضیح بهتر، یک مثال عددی را در نظر بگیرید:

 

مسئله‌ای را در نظر بگیرید که بهینه‌سازی خطی است و از سه متغیر x1، x2 و x3 تشکیل شده است.

 

تابع هدف ماکزیمم سازی f = 3x1 + 5x2 + 4x3 است، با شرایط زیر:

2x1 + x2 + 3x3 ≤ 30

4x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 60

x1, x2, x3 ≥ 0

 

حالا فرض کنید که ما در مرحله‌ای از روش سیمپلکس قرار داریم و مقادیر zj و cj وارد شونده به ترتیب به صورت زیر است:

 

zj = (0, 0, 0) و cj = (3, 2, -1).

 

حالا باید مقدار zjƟj را برای هر متغیر وارد شونده (x1، x2 و x3) محاسبه کنیم:

 

zjƟj = cj - zj

 

- برای x1: zjƟj1 = 3 - 0 = 3

- برای x2: zjƟj2 = 2 - 0 = 2

- برای x3: zjƟj3 = -1 - 0 = -1

 

با توجه به این مقادیر، می‌توانیم ببینیم که zjƟj برای متغیر x1 و x2 مثبت است، بنابراین افزایش مقدار این دو متغیر سود را افزایش خواهد داد. اما zjƟj برای متغیر x3 منفی است، بنابراین کاهش مقدار این متغیر به جواب بهینه نزدیک‌تر خواهد شد.

 

بنابراین، با توجه به تست zjƟj، می‌توانیم متغیر وارد شونده را انتخاب کنیم.

 

3. در روش Linmap بررسی نمایید. ⁺(t₁ – t_k) – ^-(t₁ -t_k) مقدار ثابتی است. (راهنمایی: به ازای هر (k,1) ϵ s مجذور فاصله k ام از راه حل ایده آل با t_k معرفی می شود. ⁺(t₁ – t_k) میزان همخوانی با اولویت گزینه ها و ^-(t₁ – t_k) میزان ناهمخوانی با اولویت گزینه ها را بیان می نماید.)

 

پاسخ:

در روش Linmap، بررسی شامل دو قسمت +(t1 – tk) و -(t1 – tk) است.

 

+(t1 – tk) به این مفهوم است که می خواهیم بررسی کنیم درصورتی که زمان کاربرد تغییرها در شرایط بهبود باشد، میزان همخوانی با گزینه ها چقدر است. به ازای هر (k,1) ϵ s (مجذور فاصله راه حل k ام از راه حل ایده آل با tk)، مقدار مورد نظر را حساب می کنیم.

 

-(t1 – tk) به معنی آن است که درصورتی که زمان کاربرد تغییرها در شرایط بهبودی نباشد، میزان ناهمخوانی با گزینه ها چقدر است. به ازای هر (k,1) ϵ s (مجذور فاصله راه حل k ام از راه حل ایده آل با tk)، مقدار مورد نظر را حساب می کنیم.

 

مقدار (t1 – tk)+ – (t1 -tk)- ثابت است و بر اساس این مقدار می توانیم تصمیم بگیریم که آیا وجود دارد گزینه‌ی بهتری که باعث افزایش راندمان سیستم شود یا نه. اگر این مقدار مثبت باشد، یعنی میزان همخوانی بیشتر است و گزینه‌ی جدید بهتر است. و اگر این مقدار منفی باشد، یعنی میزان ناهمخوانی بیشتر است و گزینه‌ی قبلی بهتر است.

 

4. یک مسأله تصمیم با 4 گزینه و 3 معیار بنویسید. سپس با استفاده از یک جایگشت دلخواه از اولویت بندی گزینه ها، به روش مجموع ساده وزین با کنش متقابل یک مدل ریاضی بهینه سازی بنویسید که امکان جابجایی دو گزینه اول جایگشت را بررسی نماید.

 

پاسخ:

فرض کنید مدیری در یک شرکت دارید که می خواهد از بین 4 کارمند مناسب ترین فرد را برای یک پروژه خاص انتخاب کند. برای این کار، معیار های زیر را در نظر می گیرد:

 

1. تجربه: کارمندانی که بیشترین تجربه را در زمینه پروژه مورد نظر دارند، اولویت بالاتری دارند.

 

2. مهارت: مهارت های فنی و فردی کارمندان برای انجام پروژه، از اولویت بعدی برخوردار است.

 

3. قابلیت همکاری: توانایی کار تیمی و ارتباطات موثر با دیگران نیز برای انتخاب فرد مناسب مهم است.

 

مدل بهینه سازی:

برای حل این مسأله تصمیم، می توان از روش مجموع ساده وزین با کنش متقابل استفاده کرد. این روش به سادگی وزن بندی معیارها را در نظر می گیرد و امکان جابجایی دو گزینه اول جایگشت را نیز بررسی می کند.

 

فرض کنید گزینه های A، B، C و D مرتباً به ترتیب اولیت اول تا چهارم قرار دارند و وزن های معیارها به ترتیب 0.4، 0.3 و 0.3 است.

 

با استفاده از ماتریس وزن بندی زیر، مدل بهینه سازی را می توان به صورت زیر بیان کرد:

 

ماتریس وزن بندی:

  | تجربه | مهارت | قابلیت همکاری

----------------------------

A |   0.4  |   0.3  |     0.3

B |   0.3  |   0.3  |     0.4

C |   0.2  |   0.4  |     0.4

D |   0.3  |   0.4  |     0.3

 

حاصلضرب ماتریس وزن بندی با ماتریس اولویت بندی:

  | 0.4 | 0.3 | 0.3

----------------------

A |  --  |  --  |   --

B |  --  |  --  |   --

C |  --  |  --  |   --

D |  --  |  --  |   --

 

در حاصلضرب ماتریس وزن بندی با ماتریس اولویت بندی، مقادیر جدولی که با -- مشخص شده اند، نشان‌دهنده نیاز به انجام محاسبات بیشتر است.

 

حال، با توجه به پر کردن جدول حاصلضرب، بررسی می کنیم که آیا امکان جابجایی دو گزینه اول جایگشت وجود دارد یا خیر.

 

اگر علاقه مند به یادگیری روش حل مسائل تصمیم گیری چندمعیاره هستید، می توانید با دانلود این پکیج آموزشی راهنمای مناسبی را برای حل این گونه مسائل در اختیار داشته باشید.